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Cosa sono i frattali

by Adriana Carelli
Galassie di galassie

Introduzione

Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale.

Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie.

Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento “caotico”, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini sono considerate dalla  oggetti di dimensione anche non intera.

I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici, nella definizione di curve o insiemi e nella teoria del caos, e sono spesso descritti in modo ricorsivo da algoritmi o equazioni molto semplici, scritte con l’ausilio dei numeri complessi. Ad esempio l’equazione che descrive l’insieme di Mandelbrot è la seguente:

a_{n+1}= a_{n}^{2}+P_{0}

dove a_{n} e P_{0} sono .

La geometria frattale

La geometria frattale studia un aspetto della natura di cui tutti siamo consapevoli ma non siamo in grado di affrontarlo a livello formale. A questo ci ha pensato . Per esempio, se pensiamo a come descrivere una nuvola lo troviamo molto complicato, così pure se vogliamo capire la geometria di una montagna o di un pino. Gli scienziati volevano capire la geometria che sta dietro la natura. La geometria euclidea che si impara a scuola non è sufficiente per capire la natura, servono nozioni più complesse. La geometria frattale è basata sul concetto di autosomiglianza. Ogni piccola parte assomiglia al tutto. Prendiamo ad esempio un cavolfiore e suddividiamolo. Nel video Mandelbrot spiega i suoi esperimenti per poter trovare un ordine nel disordine e che gli hanno permesso di scrivere la teoria dei frattali.

 

L’insieme di Mandelbrot

L’insieme di Mandelbrot o frattale di Mandelbrot è uno dei frattali più popolari, conosciuto anche al di fuori dell’ambito matematico per le suggestive immagini multicolori che ne sono state divulgate.

Questo insieme è definito nel piano dei numeri complessi. Altri frattali più semplici possono invece essere definiti nel piano a due o tre dimensioni.

Insieme di Mandelbrot

Insieme di Mandelbrot

L’insieme di Julia

l’insieme di Julia rappresenta  tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è caotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.

Il complementare dell’insieme di Julia nel piano complesso si chiama insieme di Fatou: è l’insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile.

I nomi per questi insiemi si riferiscono ai matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fatou, che iniziarono a studiare la dinamica delle funzioni olomorfe all’inizio del XX secolo, considerando il caso delle iterazioni di funzioni razionali.

Relazione tra l’insieme di Mandelbrot e Julia

L’insieme di Mandelbrot permette di indicizzare gli insiemi di Julia. Ad ogni punto del  corrisponde un diverso insieme di Julia; tale insieme è connesso se il punto in questione appartiene all’insieme di Mandelbrot, ed è invece non connesso se il punto non vi appartiene.

Intuitivamente, gli insiemi di Julia più interessanti (ovvero quelli dalle forme meno banali) corrispondono a punti che si trovano vicino al bordo dell’insieme di Mandelbrot; punti molto all’interno generano insiemi di Julia dalle forme geometriche semplici, mentre i punti esterni, lontani dal bordo, generano insiemi di Julia formati da molti piccoli insiemi non connessi.

Documentario di approfondimento

In questo documentario approfondiamo la geometria frattale, basandoci sui concetti principali di autosomiglianza e caos.

Vediamo la storia dell’attrattore di Lorentz, utilizzato nelle previsioni metereologiche e l’origine della teoira del caos. Il caos non è un’eccezione ma una normalità della natura. In passato era sfuggito perchè mancava il linguaggio matematico adatto per descriverlo. Sono stati fatti esperimenti che hanno messo in connessione caos e frattali.

Riferimenti

https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot

https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Julia

https://it.wikipedia.org/wiki/Frattale

 

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