Teoria degli insiemi

Gli insiemi

Un insieme è una raccolta di oggetti definiti e distinti. Gli oggetti sono chiamati elementi dell’insieme.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto mentre gli elementi con le lettere minuscole.

Simbologia di appartenenza di un elemento:

• l’elemento a appartiene all’insieme A si scrive
  $a\in A$
• l’elemento b non appartiene all’insieme A si scrive
  $b\notin A$

Se A e B sono due insiemi e se tutti gli elementi di A sono contenuti in B, si dice che A è sottoinsieme proprio di B e si indica così:

$A\subset B$

Se il sottoinsieme potrebbe coincidere con l’insieme stesso si scrive :

$A\subseteq B$

Rappresentazione degli insiemi

Gli insiemi si possono rappresentare in diversi modi:

1)Rappresentazione analitica, gli elementi dell’insieme sono tra parentesi graffe:

$A = \left\{a, b, c\right\}$

2)Rappresentazione caratteristica o sintetica, mediante una struttura simbolica della legge che individua l’insieme:

$A = \left\{x\in \mathrm{ℝ}: Legge sulla x\right\}$

 

Il simbolo del due punti si legge “tale che”, la legge sulla x si intende la legge che governa la variabile che forma l’insieme.

3) Rappresentazione grafica mediante i diagrammi di Eulero-Venn, che consistono in una linea chiusa che raccoglie gli elementi, rappresentati come punti.

Un insieme si dice aperto se ogni suo punto è interno oppure è vuoto.

Un insieme si dice chiuso se contiene tutta la sua frontiera, e in particolare se è vuoto.

Simbolo dell’insieme vuoto:

$\varnothing$

Le operazioni sugli insiemi sono:

Unione

Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice unione di A e B, l’insieme i cui elementi appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

Si indica con

$A\cup B$

Il diagramma è il seguente:

L’insieme unione è la zona ombreggiata.

Proprietà dell’unione

L’unione gode delle seguenti proprietà.

• proprietà commutativa :
  $A\cup B = B\cup A$
• proprietà associativa :
  $A\cup \left(B\cup C\right) = \left(A\cup B\right)\cup C$

Inoltre:

• $A\cup A\cup = A$
• $A \cup \varnothing = A$

L’Intersezione

Definizione: Si dice intersezione di due insiemi A  e B, l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.

Il simbolo di intersezione è il seguente:

$A\cap B$

e il diagramma è il seguente:

Proprietà dell’intersezione

L’intersezione gode delle seguenti proprietà:

• Proprietà commutativa:
  $A\cap B = B\cap A$
• Proprietà associativa:
  $A\cap \left(B\cap C\right) = \left(A\cap B\right)\cap C$

Inoltre valgono:

• $A\cap A = A$
• $A\cap \varnothing = \varnothing$

Inoltre abbiamo due proprietà distributive:

• Proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione:
  $A\cup \left(B\cap C\right) = \left(A\cup B\right) \cap \left(A\cup C\right)$
• Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione:
  $A\cap \left(B\cup C\right) = \left(A\cap B\right) \cup \left(A\cap C\right)$

Immagine di copertina:

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