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Teoria degli insiemi

by Adriana Carelli
Diagrammmi di Venn

Gli insiemi

Un insieme è una raccolta di oggetti definiti e distinti. Gli oggetti sono chiamati elementi dell’insieme.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto mentre gli elementi con le lettere minuscole.

Simbologia di appartenenza di un elemento:

  • l’elemento a appartiene all’insieme A si scrive
    aA
  • l’elemento b non appartiene all’insieme A si scrive
    bA

Se A e B sono due insiemi e se tutti gli elementi di A sono contenuti in B, si dice che A è sottoinsieme proprio di B e si indica così:

AB

Se il sottoinsieme potrebbe coincidere con l’insieme stesso si scrive :

AB

Rappresentazione degli insiemi

Gli insiemi si possono rappresentare in diversi modi:

1)Rappresentazione analitica, gli elementi dell’insieme sono tra parentesi graffe:

A = a, b, c

2)Rappresentazione caratteristica o sintetica, mediante una struttura simbolica della legge che individua l’insieme:

A = x: Legge sulla x

 

Il simbolo del due punti si legge “tale che”, la legge sulla x si intende la legge che governa la variabile che forma l’insieme.

3) Rappresentazione grafica mediante i diagrammi di Eulero-Venn, che consistono in una linea chiusa che raccoglie gli elementi, rappresentati come punti.

diagramma di Eulero Venn

Un insieme si dice aperto se ogni suo punto è interno oppure è vuoto.

Un insieme si dice chiuso se contiene tutta la sua frontiera, e in particolare se è vuoto.

Simbolo dell’insieme vuoto:

Le operazioni sugli insiemi sono:

Unione

Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice unione di A e B, l’insieme i cui elementi appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

Si indica con

AB

Il diagramma è il seguente:

INSIEME UNIONE

L’insieme unione è la zona ombreggiata.

Proprietà dell’unione

L’unione gode delle seguenti proprietà.

  • proprietà commutativa :
    AB = BA
  • proprietà associativa :
    ABC = ABC

Inoltre:

  • AA = A
  • A  = A

L’Intersezione

Definizione: Si dice intersezione di due insiemi A  e B, l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.

Il simbolo di intersezione è il seguente:

AB

e il diagramma è il seguente:

Intersezione tra insiemi

Proprietà dell’intersezione

L’intersezione gode delle seguenti proprietà:

  • Proprietà commutativa:
    AB = BA
  • Proprietà associativa:
    ABC = ABC

Inoltre valgono:

  • AA = A
  • A = 

Inoltre abbiamo due proprietà distributive:

  • Proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione:
    ABC = AB  AC
  • Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione:
    ABC = AB  AC

Immagine di copertina:

Foto di Clker-Free-Vector-Images da Pixabay

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