Gli insiemi
Un insieme è una raccolta di oggetti definiti e distinti. Gli oggetti sono chiamati elementi dell’insieme.
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto mentre gli elementi con le lettere minuscole.
Simbologia di appartenenza di un elemento:
- l’elemento a appartiene all’insieme A si scrive
- l’elemento b non appartiene all’insieme A si scrive
Se A e B sono due insiemi e se tutti gli elementi di A sono contenuti in B, si dice che A è sottoinsieme proprio di B e si indica così:
Se il sottoinsieme potrebbe coincidere con l’insieme stesso si scrive :
Rappresentazione degli insiemi
Gli insiemi si possono rappresentare in diversi modi:
1)Rappresentazione analitica, gli elementi dell’insieme sono tra parentesi graffe:
2)Rappresentazione caratteristica o sintetica, mediante una struttura simbolica della legge che individua l’insieme:
Il simbolo del due punti si legge “tale che”, la legge sulla x si intende la legge che governa la variabile che forma l’insieme.
3) Rappresentazione grafica mediante i diagrammi di Eulero-Venn, che consistono in una linea chiusa che raccoglie gli elementi, rappresentati come punti.
Un insieme si dice aperto se ogni suo punto è interno oppure è vuoto.
Un insieme si dice chiuso se contiene tutta la sua frontiera, e in particolare se è vuoto.
Simbolo dell’insieme vuoto:
Le operazioni sugli insiemi sono:
Unione
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice unione di A e B, l’insieme i cui elementi appartengono ad almeno uno dei due insiemi.
Si indica con
Il diagramma è il seguente:
L’insieme unione è la zona ombreggiata.
Proprietà dell’unione
L’unione gode delle seguenti proprietà.
- proprietà commutativa :
- proprietà associativa :
Inoltre:
L’Intersezione
Definizione: Si dice intersezione di due insiemi A e B, l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.
Il simbolo di intersezione è il seguente:
e il diagramma è il seguente:
Proprietà dell’intersezione
L’intersezione gode delle seguenti proprietà:
- Proprietà commutativa:
- Proprietà associativa:
Inoltre valgono:
Inoltre abbiamo due proprietà distributive:
- Proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione:
- Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione:
Immagine di copertina:
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